Артист появился на свет в 1928 году, его родители были однофамильцами и имели крестьянское происхождение. На сцене Леонид начал играть еще в школьные годы в доме культуры Краматорска. С детства Быков метал стать летчиком. После окончания школы он даже предпринимал попытки поступить в летное училище, но препятствием стал маленький рост.
Леониду пригодились его способности и навыки игры на сцене. Он стал студентом Харьковского театрального института, а после его окончания работал в местном театре. В 1952 году он снялся в картине «Судьба Марины». С этого момента началась его кинокарьера. Известность актеру принесли съемки в фильме «Максим Перепелица». После этого последовала череда ярких киноролей.
В 1959 году Быков переехал в Ленинград и устроился на «Ленфильм». Быкову не всегда приходилось греться в лучах славы. Так, его режиссерская работа – комедийная картина «Зайчик», где он сыграл главную роль, подверглась острой критике. Это стало причиной первого инфаркта у мужчины.
В 1969 году Леонид переехал в Киев. В этот период он работал над сценарием к фильму «В бой идут одни старики». Его роль в этой картине стала легендарной и имела ошеломляющий успех. Очередным шедевром стала лента «Аты-баты, шли солдаты…». Съемки велись в очень тяжелых условиях, что стало причиной еще одного инфаркта.
Последней работой Быкова стала картина «Пришелец», но завершить ее не удалось. Режиссер возвращался с дачи и попал в аварию, столкнувшись с грузовиком. В ходе следствия правоохранители устанавливали, что могло послужить причиной смерти: убийство, самоубийство, инфаркт. В итоге они выяснили, что действительно произошел несчастный случай.
Долгое время обсуждения вызывало письмо-завещание, оставленное Леонидом. Некоторые считали, что режиссер написал его незадолго до смерти, будто предчувствуя свою гибель. В нем артист просил воздержаться при его похоронах от излишнего пафоса и просил исполнить его любимые песни.
Леонид Быков погиб в 1979 году, он похоронен на Байковом кладбище в Киеве.